¿Cuatro sextos es lo mismo que seis novenos?

Comienza el segundo trimestre y retomamos el trabajo en nuestro laboratorio de matemáticas.
Esta vez los alumnos de 1º de ESO han ntentado responder a la pregunta: ¿Cuál de estas dos fracciones contiene más cantidad de tarta? Así han comenzado a trabajar en el concepto de fracciónes equivalentes (fracciones distintas que representan la misma cantidad).
Para ello han estado haciendo pruebas con nuestras regletas de fracciones y han estado buscando parejas de fracciones que sean equivalentes o comprobando si dos fracciones dadas lo son....
Además, el grupo está recopilando todo tipo de envases de refrescos con los que trabajaremos también las fracciones del litro y sus equivalencias en milílitros.

Sólidos platónicos y pajitas de refrescos

Ahora nos toca en 2º de ESO estudiar los cuerpos geométricos, hemos comenzado construyendo los cinco sólidos platónicos con un refrescante material: pajitas de refresco.

Los poliedros regulares son cuerpos geométricos que tienen que cumplir los siguientes requisitos:
todas sus caras son iguales,son polígonos regulares (triángulos equiláteros, cuadrados, pentágonos regulares...) y en cada vértice confluye el mismo número de caras.

Ya los antiguos griegos se dieron cuenta de que sólo es posible construir cinco cuerpos con estas características.
- El tetraedro: formado por cuatro triángulos equiláteros, en cada vértice confluyen tres triángulos.
- El hexaedro (cubo): formado por seis cuadrados de forma que en cada vértice confluyen tres de ellos.
- El octaedro: formado por ocho triángulos equiláteros de forma que en cada vértice confluyen cuatro de ellos.
- El icosaedro: formado por veinte triángulos equiláteros, con cinco de ellos en cada vértice.
- El dodecaedro: formado por doce pentágonos regulares, tres en cada vértice.

Se sabe que Pitágoras conocía al menos tres de los cinco posibles y sentó las bases para que posteriormente Platón hiciera una descripción sistemática de ellos, tenía especial debilidad por el dodecaedro y que su construcción era uno de los secretos mejor guardados por la comunidad Pitagórica.

Platón relacionó estos cinco sólidos los elementos de la naturaleza: así atribuyó el fuego al tetraedro, el aire al octaedro, la tierra al cubo, el agua al icosaedro y reservó el dodecaedro para relacionarlo con el todo, el universo.

Los Viajes de Gulliver: áreas y volúmenes de figuras semejantes

Los alumnos de 2º A han visitado nuestro laboratorio para trabajar semejanza. 

En este caso han podido comprobar por ellos mismos que cuando se duplica una figura, su área se multiplica por cuatro y su volumen por ocho. De la misma forma que cuando la triplicamos su área queda multiplicada por nueve y su volumen por nada menos que 27.  

Con pequeños cubos han ido construyendo diversas figuras, su doble y su triple para ir comprobando en qué medida aumentan las áreas y los volúmenes en cada caso.

Eso nos lleva a las paradojas del "Los Viajes de Gulliver",  en esta novela Gulliver visita el país de Liliput, en el que los seres que viven son doce veces más pequeños que él. En la novela se describe cómo al tener Gulliver una altura 12 veces superior a un liliputiense, es 1728 (=12·12·12) veces más pesado, es decir que necesitaría comer al día exactemente 1728 raciones de comida liliputiense.

El cuadrado de lo hipotenusa...

... es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Aquí tenemos uno de los enunciados matemáticas más conocidos:  El teorema de Pitágoras. 

Los alumnos de 2º de ESO han comenzado a indagar en su significado en el laboratorio: 

Han podido comprobar que al construir un triángulo de lados 3, 4 y 5 unidades respectivamente aparece un ángulo recto entre los lados menores. Significa esto que estamos ante un triángulo rectángulo, en el que el lado mayor, que está frente al ángulo recto, se llama hipotenusa, y a los dos lados menores, que forman el ángulo recto, los denominamos catetos.

Una vez hecho esto, les hemos pedido que construyan un cuadrado sobre cada uno de los lados y que calculen las respectivas áreas para descubrir que ¡la suma de las dos pequeñas es igual a la grande! 

Una de las principales aplicaciones del Teorema de Pitágoras es saber si un ángulo es efectivamente recto o no. No hace falta insistir en al importancia que tiene el ángulo de 90º en nuestras vidas, así con ayuda del teorema podremos saber si un muro es realmente vertical o tiene poco futuro, o si las paredes de casa están colocadas perpendicularmente.

Para ello sólo debemos construir un triángulo y comprobar que el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los lados menores….si esto ocurre ¡enhorabuena! El ángulo recto está bien construido.

Pincha aquí para verla

Hemos hecho una simulación con ayuda de Geogebra que nos ayuda a comprobarlo:

¡Seguiremos trabajando en las aplicaciones y demostraciones del teorema, así como en el personaje de Pitágoras!

Números irracionales, buscando el número Pi

Para Pitágoras el número era la esencia de todas las cosas en sentido físico, el elemento a partir del cual se formaba el cosmos. El concepto de número que tenía era el que comprendía a  los números naturales y las razones entre ellos, es decir, las fracciones.

La aparición de longitudes inconmesurables (una no se puede expresar en términos de una fracción de la otra), como ocurre con la diagonal de un cuadrado y su lado originó en la comunidad Pitagórica una profunda crisis. Hasta el punto de que se cuenta que el descubridor de semejante aberración fue arrojado al río. Guardaron en riguroso secreto la existencia de este tipo de números. Ahora vamos a centrarnos en uno de estos irracionales: 

         Uno de los números más conocidos universalmente es el número Pi. En las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia el hombre se dio cuenta de que la Longitud de una circunferencia era algo más que tres veces su diámetro. A lo largo de la historia el hombre ha intentado aproximar con cada vez más exactitud este  número.

         Los griegos llegaron a la conclusión de que se trataba de un número irracional, es decir, que no hay dos números enteros de forma que al dividirlos se obtenga el número Pi. 

      Esto se traduce en que su expresión decimal tiene infinitas cifras sin que aparezca ningún periodo, así que por más que dividamos en partes iguales el diámetro, nunca cabrá un número exacto de veces en la longitud de la circunferencia. Aquí tenéis un interesante vídeo sobre Pi.

          En el laboratorio nos hemos puesto a la ardua tarea de encontrar al número Pi. Hemos recopilado un montón de objetos circulares, hemos medido su longitud y su diámetro y hemos calculado su cociente. Desde 2,82 hasta 3,62 hemos conseguido muchas aproximaciones, una más cercanas que otras... 

¡Así que no olvidéis nunca!: 

Medidas directas de áreas y perímetros

Los alumnos de 2º de ESO, han comenzado el bloque de Geometría. Nada mejor para recordar los conceptos de área y perímetro que haciendo mediciones directas con estas losas de juguete.

Lo primero que ha hecho ha sido poner nombre a la nueva unidad de medida: el "palo" para la longitud y el "palo cuadrado" para la superficie. 

Enseguida han ido midiendo tanto el área como el perímetro de varias figuras.